问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）试求f(
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由． |
答案
（本小题满分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=
+4x 4x+2
=41-x 41-x+2
+4x 4x+2
=14 4+2•4x
∴f（
）+f（1 n
）=1．（5分）n-1 n
（2）∵an=f（0）+f(
)+f(1 n
)+…+f(2 n
)+f（1）（n∈N*），①n-1 n
∴an=f(1)+f(
)+f(n-1 n
)+…+f（n-2 n
）+f（0）（n∈N*），②1 n
由（1），知 f（
）+f（1 n
）=1，n-1 n
∴①+②，得2an=n+1，
∴an=
．（10分）n+1 2
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即Sn=n•2n+1，（12分）
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn2-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=
＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，1 k
∴不等式knSn＞bn恒成立，
即当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立 …（16分）