（1）f（x）为单调减函数．（1分）

证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f₁（x）+f₂（x）=

mx

4x2+16

+(

1

2

)x-m=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x．

由f′(x)=

4m(4-x2)

(4x2+16)2

+2m•(

1

2

)xln

1

2

=

m(4-x2)

(2x2+8)2

-2m•(

1

2

)xln2，（4分）

且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）

（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f₁（x）和f₂（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）

（2）①若m≤0，由x₁≥2，g(x1)=f1(x1)=

mx1

4 x 21 +16

≤0，

x₂＜2，g(x2)=f2(x2)=(

1

2

)|x2-m|＞0，

所以g（x₁）=g（x₂）不成立．（7分）

②若m＞0，由x＞2时，g′(x)=f1′(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

＜0，

所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x₁）∈（0，f₁（2）]，即g(x1)∈(0，

m

16

]．（9分）

（a）若m≥2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(

1

2

)|x-m|=(

1

2

)m-x=(

1

2

)m•2x，

所以g（x）在（-∞，2）上单调递增，从而g（x₂）∈（0，f₂（2）），即g(x2)∈(0，(

1

2

)m-2)．

要使g（x₁）=g（x₂）成立，只需

m

16

＜(

1

2

)m-2，即

m

16

-(

1

2

)m-2＜0成立即可．

由于函数h(m)=

m

16

-(

1

2

)m-2在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，

所以2≤m＜4．（12分）

（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(

1

2

)|x-m|=

( 1 2 )m-x x＜m ( 1 2 )x-m m≤x＜2.

所以g（x）在（-∞，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．

从而g（x₂）∈（0，f₂（m）]，即g（x₂）∈（0，1]．

要使g（x₁）=g（x₂）成立，只需

m 16 ＜1 m 16 ≤( 1 2 )2-m

成立，即

m

16

≤(

1

2

)2-m成立即可．

由0＜m＜2，得

m

16

＜

1

8

，  (

1

2

)2-m＞

1

4

．

故当0＜m＜2时，

m

16

≤(

1

2

)2-m恒成立．（15分）

综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）