问题
解答题
设函数f(x)=x+
（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明； （2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围． |
答案
（1）f（x）=x+
，∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x21 x
f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+1 x1
）=（x1-x2）1 x2
…（3分）x1x2-1 x1x2
∵x1，x2∈[1，4]，x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…（6分）
（2）∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+λ x1
）=（x1-x2）λ x2
…（8分）x1x2-λ x1x2
∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
∴f（x1）-f（x2）＜0
∵1≤x1＜x2≤4，
∴x1x2-λ＞0对∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x2恒成立…（10分）
即λ＜x1x2
∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1…（12分）