（1）令log_ax=t则x=a^t

所以f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）

f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），定义域为R

（2）f′（x）=

a

a2-1

lna（a^x+a^-x）

当a＞1时，

a

a2-1

＞0，lna＞0，

f′（x）＞0，f（x）在R上单增

当0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增

总之f（x）在R单增

（3）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)

∴f（-x）=-f（x）

∴f（x²）+f（kx+1）≤0

即为f（x²）≤f（-kx-1）

∵f（x）单增

∴不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立

即为x²≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立

即-k≥x+

1

x

对实数x∈（1，2）恒成立

∵x+

1

x

∈(2，

5

2

)

∴-k≥

5

2

∴k≤-

5

2