问题 解答题
已知函数f(x)=x-
1
xm
f(2)=
3
2
,x∈(0,+∞)

(1)判断f(x)在其定义域上的单调性并证明;
(2)若f(3x-2-1)<f(9x-1),求x的取值范围.
答案

(1)∵f(2)=

3
2

2-

1
2m
=
3
2

∴m=1,

f(x)=x-

1
x
(3分)

在(0,+∞)内任取两个值x1,x2,且x1<x2(4分)

f(x1)-f(x2)=(x1-

1
x1
)-(x2-
1
x2
)=
(x1-x2)(1+x1x2)
x1x2
(7分)

∵x1<x2,∴x1-x2<0,∵x1>0,x2>0,

∴x1x2>0,1+x1x2>0,∴f(x1)<f(x2)(9分)

所以f(x)在其定义域上是单调增函数.(10分)

(2)由题意得:

3x-2-1>0
9x-1>0
3x-2-1<9x-1
(13分)

x>2
x>0
x>-2
,∴x>2(16分)

问答题
单项选择题