问题
解答题
| 已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=-my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B （1）证明：l1⊥l2； （2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值； （3）设S=f （m），求U=S+
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答案
（1）由题意知，m≠0，l1与l2的斜率分别为 m，
，斜率之积等于-1，故l1⊥l2．1 -m
（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=
，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），2
把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P（
，1-m 1+m2
），AB 的方程为x+y-1=0，1+m 1+m2
点P到 AB 的距离为
=|
+1-m 1+m2
-1|1+m 1+m2 2
，1-m2
(1+m2)2
由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
∴S=
×1×1+1 2
×1 2
×2
=1-m2
(1+m2)2
+1 2
=1-m2 2(1+m2)
，1 1+m2
故 m=0 时，S有最大值为 1．
（3）U=S+
=1 S
+（1+m2），|m|＜1，U的导数U′=1 1+m2
+2m=2m（1--2m 1+m2
）＞0，1 1+m2
∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．