问题
解答题
| 已知圆M：x2+（y-2）2=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A． （1）若t=0，MP=
（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）． |
答案
（1）由圆M：x2+（y-2）2=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，
设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=
，∴5
=(2a)2+(a-2)2
．5
解得a=1或a=-
（舍去）．1 5
∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴
=1，|-2-2k+1| 1+k2
解得k=0或k=-
．4 3
∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）设f(a)min=f(
+2)=t 2
(5 4
+2)2+(t 2
+2)+1=t 2
t2+3t+815 16
∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA．
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M（0，2），∴D的坐标是(a，
+1)．a 2
设DO2=f（a）．
∴f(a)=a2+(
+1)2=a 2
a2+a+1=5 4
(a+5 4
)2+2 5
．4 5
当
＞-t 2
，即t＞-2 5
时，f(a)min=f(4 5
)=t 2
t2+5 16
+1；t 2
当
≤-t 2
≤2 5
+2，即-t 2
≤t≤-24 5
时，f(a)min=f(-4 5
)=2 5
；4 5
当
+2＜-t 2
，即t＜-2 5
时，f(a)min=f(24 5
+2)=t 2
(5 4
+2)2+(t 2
+2)+1=t 2
t2+3t+815 16
则L(t)=
．1 4
，t＞-5t2+8t+16 4 5
，-2 5 5
≤t≤-24 5 4 5 1 4
，t＜-5t2+48t+128 24 5