（1）∵⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4，

∴圆心C的坐标为（1，2），半径r=2，

当l平分⊙C时，必有直线l过圆心（1，2），又直线l过P（3，-1），

则直线l的方程为y-2=-

3

2

(x-1)，即3x+2y+7=0；…（5分）

（2）当直线l的斜率不存在时，

其方程为x=3，经检验，符合题意；…（8分）

当直线l的斜率k存在时，

设直线l的方程为y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0，

∵直线l与圆C相切，

∴圆心（1，2）到直线kx-y-3k-1=0的距离为圆的半径2，

即

|-2k-3|

1+k2

=2，解得：k=-

5

12

，

此时直线l的方程为y+1=-

5

12

（x-3），即5x+12y-3=0，

综上，当l与⊙C相切时，直线l的方程为x=3或5x+12y-3=0．…（12分）