问题
解答题
| 已知圆O：x2+y2=1，点P在直线l：2x+y-3=0上，过点P作圆O的两条切线，A，B为两切点． （1）求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标； （2）点M为直线y=x与直线l的交点，若在平面内存在定点N（不同于点M），满足：对于圆 O上任意一点Q，都有
（3）求
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答案
（1）由勾股定理得：|PO|2=R2+|PA|2，半径R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短时，OP垂直于直线2x+y-3=0，所以最短|OP|=
=|0+0-3| 4+1
，3 5
所以|PA|2=|PO|2-R2=4 5
即|PA|最小时，|PA|=2 5 5
直线2x+y-3=0的斜率是k=-2，则PO的斜率是k'=
，所以OP方程是y=1 2 x 2
将方程y=
与直线2x+y-3=0联立，解得：x=x 2
，故有y=6 5
，即点P坐标是（3 5
，6 5
）；3 5
（2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立，可得交点坐标M（1，1），设Q（m，n），N（x，y）
则
=QN QM
=λ（λ≠1）(x-m)2+(y-n)2 (m-1)2+(n-1)2
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q，都有
为一常数，QN QM
∴
，解得x=y=λ=2λ-2x=0 2λ-2y=0 x2+y2-3λ+1=0
，1 2
∴N（
，1 2
）1 2
（3）由题意，四点P，A，O，B共圆，当且仅当圆与直线相切时，|PA|最小，∠APB最大，
•PA
取得最小值PB
由（1）知P坐标是（
，6 5
）；3 5
设A（a，b），则过A的切线方程为：ax+by=1，将（
，6 5
）代入可得3 5
a+6 5
b=1，3 5
∵a2+b2=1
∴a=
，b=10+ 10 15
，或a=5-2 10 15
，b=10- 10 15 5+2 10 15
∴
•PA
=（PB
-10+ 10 15
，6 5
-5-2 10 15
）•（3 5
-10- 10 15
，6 5
-5+2 10 15
）=-3 5 4 45