问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）判断函数f（x）奇偶性与单调性，并说明理由； （2）若f（2-a2）＞f（a），求实数a的取值范围． |
答案
（1）函数为f（x）奇函数
∵函数f(x)=x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0
当x＞0时，-x＜0
∴f（-x）=4（-x）-（-x）2=-（x2+4x）=-f（x）
当x=0时，-x=0
∴f（-x）=0=-f（x）
当x＜0时，-x＞0
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）-=-（4x-x2）=-f（x）
故f（-x）=-f（x）恒成立
故函数为f（x）奇函数
在区间[0，+∞）上，f'（x）=2x+4＞0恒成立
故f（x）在区间[0，+∞）上单调递增
又由奇函数的性质，我们易得函数是定义在R上的单调增函数
（2）由函数f(x)=x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0
是定义在R上的单调增函数
故f（2-a2）＞f（a），
可化为2-a2＞a
解得：-2＜a＜1