已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为

问题解答题

已知椭圆C1：

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C₁上任一点，MN是圆C_2：x²+（y-3）²=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-

的直线l恰好与圆C₂相切．
（Ⅰ）已知椭圆C₁的离心率；
（Ⅱ）若

•

的最大值为49，求椭圆C₁的方程．

答案

（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-

)c=0，

因为直线与圆c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以d=

|3c-3c+

b2+c2

=1，即a²=2c²，

从而e=

；（6分）

（Ⅱ）设P（x，y）、圆C₂的圆心记为C₂，则

2c2

=1（c＞0），又

•

PC2

C2M)

•(

PC2

C2N

PC2

C2N

2=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）

j当c≥3时，(

•

)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此时椭圆方程为

=1；

k当0＜c＜3时，(

•

)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，

解得c=5

-3但c=5

-3＞3，故舍去．

综上所述，椭圆的方程为

=1．（14分）