问题 解答题
三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c.
(I)求C角的大小
(Ⅱ)若a=
2
,求△ABC的面积.
答案

(I)因为A+B+C=180°,所以cos(A+C)=-cosB,

因为cos(A-C)+cosB=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1,

展开得:cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=1,

所以2sinAsinC=1.

因为a=2c,根据正弦定理得:sinA=2sinC,

代入上式可得:4sin2C=1,所以sinC=

1
2

所以C=30°;

(Ⅱ)由(I)sinA=2sinC=1,∴A=

π
2

∵a=

2
,C=30°,∴c=
2
2
,b=
6
2

∴S△ABC=

1
2
bc=
1
2
×
6
2
×
2
2
=
3
4

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选择题