问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)证明f(x)是奇函数; (Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增; (Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5f(3)•g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明. |
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是关于原点对称的;
又f(-x)=
=(-x)
-(-x)-1 3 1 3 5
=-f(x)-x
+x-1 3 1 3 5
∴f(x)是奇函数.(4分)
(Ⅱ)设x1<x2<-1,则:f(x1)-f(x2)═
(x11 5
-x21 3
)(1+1 3
),1 x1
•x21 3 1 3
∵x
-x21 3
<0,1 3
>0,(1 x1x2
)1 x1x2
>01+1 3
>0,1 x1
•x21 3 1 3
∴f(x1)-f(x2)<0.即f(x1)<f(x2)且x1<x2
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增.(8分)
(Ⅲ)算得:f(4)-5f(2)•g(2)=0;f(9)-5f(3)•g(3)=0;
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是:f(x2)-5f(x)•g(x)=0(12分)
下面给予证明:∵f(x2)-5f(x)•g(x)=
-5•x
-x-2 3 2 3 5
•x
-x-1 3 1 3 5 x
+x-1 3 1 3 5
=
(x1 5
-x-2 3
)-2 3
(x1 5
-x-2 3
)=02 3
∴f(x2)-5f(x)•g(x)=0对所有不等于零的实数x都成立.(14分)