问题 解答题
已知函数f(x)=
x
1
3
-x-
1
3
5
g(x)=
x
1
3
+x-
1
3
5

(Ⅰ)证明f(x)是奇函数;
(Ⅱ)证明f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
(Ⅲ)分别计算f(4)-5f(2)•g(2)和f(9)-5f(3)•g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
答案

(Ⅰ)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是关于原点对称的;

f(-x)=

(-x)
1
3
-(-x)-
1
3
5
=
-x
1
3
+x-
1
3
5
=-f(x)

∴f(x)是奇函数.(4分)

(Ⅱ)设x1<x2<-1,则:f(x1)-f(x2)═

1
5
(x1
1
3
-x2
1
3
)(1+
1
x1
1
3
x2
1
3
),

x

1
3
-x2
1
3
<0,
1
x1x2
>0
(
1
x1x2
)
1
3
>0
1+
1
x1
1
3
x2
1
3
>0

∴f(x1)-f(x2)<0.即f(x1)<f(x2)且x1<x2

∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增.(8分)

(Ⅲ)算得:f(4)-5f(2)•g(2)=0;f(9)-5f(3)•g(3)=0;

由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是:f(x2)-5f(x)•g(x)=0(12分)

下面给予证明:∵f(x2)-5f(x)•g(x)=

x
2
3
-x-
2
3
5
-5•
x
1
3
-x-
1
3
5
x
1
3
+x-
1
3
5

=

1
5
(x
2
3
-x-
2
3
)-
1
5
(x
2
3
-x-
2
3
)
=0

∴f(x2)-5f(x)•g(x)=0对所有不等于零的实数x都成立.(14分)

单项选择题 A1/A2型题
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