∵f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）=0 即log

1

3

q=0，得q=1

又f（-x）=-f（x）

∴log

1

3

x2-px+1

x2-mx+1

=-log

1

3

x2+px+1

x2+mx+1

，

∴

x2+1-px

x2+1-mx

=

x2+1+mx

x2+1+px

，

即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²

∴p²=m²

若p=m，则f（x）=0，不合题意．故p=-m≠0

∴f（x）=log

1

3

x2-mx+1

x2+mx+1

由f（x）在[1，+∞）上是减函数，

x≠0时，令g（x）=

x2-mx+1

x2+mx+1

=1-

2mx

x2+mx+1

=1-

2m

x+ 1 x +m

∵x+

1

x

在[1，+∞）上递增，在（-∞，-1）也递增，只有m＞0时，在[1，+∞）上g（x）递增，从而f（x）递减．

即m＞0时函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数

∴x=-1时，x+

1

x

在（-∞，-1]上取得最大值-2，此时由f（x）的最小值为-1得g（x）的最大值为3．

∴1-

2m

m-2

=3    得m=1，从而p=-1

综上可知，存在p=-1，q=1，m=1．