问题
解答题
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由； （Ⅲ）若______，试求f(
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答案
（Ⅰ）令x=y=0⇒f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（Ⅱ）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
)，x1-x2 1-x1x2
而x1-x2＜0，0＜x1x2＜1⇒
＜0．x1-x2 1-x1x2
∴f(
)＞0．即 当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．x1-x2 1-x1x2
∴f（x）在（0，1 ）上单调递减．
（Ⅲ）由于f(
)-f(1 2
)=f(1 5
)+f(-1 2
)=f(1 5
)=f(
-1 2 1 5 1- 1 2×5
)，1 3
f(
)-f(1 3
)=f(1 11
)，f(1 4
)-f(1 4
)=f(1 19
)，1 5
∴f(
) -f(1 2
) -f(1 11
) =2f(1 19
) =-1．1 5