已知定义在R上的函数f（x）=2x-12丨x丨．（1）若f（x）=32，求x的值

问题解答题

已知定义在R上的函数f（x）=2^x-

2丨x丨

．
（1）若f（x）=

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解　（1）当x＜0时，f（x）=0，不符合题意；

当x≥0时，f（x）=2^x-

，

由2^x-

，得2•2^2x-3•2^x-2=0，

将其看成关于2^x的一元二次方程，解之得2^x=2或-

，

结合2^x＞0，得2^x=2，解之得x=1；

（2）当t∈[1，2]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0，

即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1），

∵2^2t-1＞0，

∴不等式等价于m≥-（2^2t+1），

∵t∈[1，2]，函数F（t）=-（2^2t+1）是单调减函数

∴-（2^2t+1）的最小值为F（2）=-17，最大值为F（1）=-5

即-（2^2t+1）∈[-17，-5]，

故若原不等式恒成立，则m的取值范围是[-5，+∞）．