问题
解答题
已知函数f（x）=ax-a-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t2）＜0，求实数t的取值范围．
答案
（Ⅰ）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=a-x-ax=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（Ⅱ）函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)
=(ax1-ax2) (
)ax1 ax2 +1 ax1ax2
因为x1＜x2，又a＞1，所以ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，
＞0ax1ax2+1 ax1ax2
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）为R上的增函数
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t2-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．
解得 t＜-2，或t＞1