问题 解答题
已知向量
a
=(cos
3
2
x
,sin
3
2
x
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[0,
π
2
];
(I)求
a
b
及|
a
+
b
|;
(II)若f(x)=
a
b
-
3
|
a
+
b
|sinx,求f(x)的最大值与最小值.
答案

(I)∵向量

a
=(cos
3
2
x
,sin
3
2
x
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),

a
b
=(cos
3
2
x
,sin
3
2
x
)•(cos
x
2
,-sin
x
2
)=cos
3
2
x
•cos
x
2
-sin
3
2
x
sin
x
2
=cos(
3
2
x
+
x
2
)=cos2x,

|

a
|=|
b
|=1

∴|

a
+
b
|2=
a
2
+
b
2
+2
a
b
=2+2cos2x=4cos2x

又∵x∈[0,

π
2
]

∴|

a
+
b
|=2cosx

(II)∵f(x)=

a
b
-
3
|
a
+
b
|sinx=cos2x-2
3
cosxsinx=cos2x-
3
sin2x=2sin(2x+
5
6
π

∵x∈[0,

π
2
],

∴2x+

5
6
π∈[
5
6
π
11
6
π
]

∴当2x+

5
6
π=
5
6
π
,即x=0时,函数取最大值1,

当2x+

5
6
π=
2
,即x=
π
3
时,函数取最小值-2

阅读理解与欣赏

阅读文段,回答问题

  ①男孩与他的妹妹相依为命。父亲早逝,她是他唯一的亲人,所以男孩爱妹妹胜过爱自己。

  ②然而灾难再一次降临在这两个不幸的孩子身上。妹妹染上了重病,需要输血。但医院的血液太昂贵,男孩没有钱支付任何费用,尽管医院已免去了手术费。但不输血妹妹就会死去。

  ③作为妹妹唯一的亲人,男孩的血型与妹妹相符。医生问男孩是否勇敢,是否有勇气承受抽血时的疼痛。男孩稍一犹豫,10岁的他经过一番思考,终于点了点头。

  ④抽血时,男孩安静地不发出一丝声响,只是向着临床上的妹妹微笑。手术完毕后,男孩声音颤抖(   )地问:“医生,我还能活多长时间?”

  ⑤医生正想笑男孩的无知,但转念间又被男孩的勇敢zhèn hàn(   )了:在男孩大脑中,他认为输血会失去生命。但他仍然肯输血给妹妹,在那一瞬间,男孩所做出的决定是付出了一生的勇敢并下定了死亡的决心。

  ⑥医生的手心渗出了汗,他握紧了男孩的手说:“放心吧,你不会死的。输血不会丢掉生命。”

  ⑦男孩眼中放出了光彩:“真的?那我还能活多少年?”

  ⑧医生微笑着,充满耐心地说:“你能活到100岁,小伙子,你很健康!”男孩高兴得又蹦又跳。他确认自己真的没事时,就又挽起了胳膊——刚才被抽血的胳膊,昂起头,郑重其事地对医生说:“那就把我的血抽一半给妹妹吧,我们两人每人活50年!”

  ⑨所有的人都震惊了,这不是孩子无心的承诺,这是人类最无私最纯真的诺言。同别人平分生命,即使亲如父子,恩爱如夫妻,又有几人能如此快乐如此坦诚如此心甘情愿地说出并做到呢?

1、给上文取一个恰当的标题。

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2、给划线的词语注音,在注音处写汉字。

A、抖(   )B、zhèn hàn(   )

3、从全文看,“男孩爱妹妹胜过爱自己”主要表现在哪两件事上?请概括回答。

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4、文中的“男孩”具有怎样的品质?用自己的话回答。

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5、第⑦段运用了什么描写方法?“男孩”眼中为什么会“放出光彩”?

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6、第③段中说,男孩“经过一番思考”。根据上下文,发挥合理想象,具体描写出男孩的“一番思考”的内容来。不超过100字。

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单项选择题