问题 解答题
已知f(x)=x2-alnx在(1,2]上是增函数,g(x)=x-a
x
在(0,1)上是减函数.
(1)求a的值;
(2)设函数φ(x)=2bx-
1
x2
在(0,1]上是增函数,且对于(0,1]内的任意两个变量s,t,恒有f(s)≥φ(t)成立,求实数b的取值范围;
(3)设h(x)=f′(x)-g(x)-2
x
+
3
x
,求证:[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*).
答案

(1)f′(x)=2x-

a
x
,依题意,当x∈(1,2]时,f'(x)≥0恒成立,即a≤(2x2min⇒a≤2.g′(x)=1-
a
2
x
,当x∈(0,1)时,g'(x)≤0恒成立,即a≥2,所以a=2.…(5分)

(2)f′(x)=2x-

2
x
=
2(x+1)(x-1)
x
,所以f(x)在(0,1]上是减函数,最小值是f(1)=1.φ(x)=2bx-
1
x2
在(0,1]上是增函数,即φ′(x)=2b+
2
x3
≥0
恒成立,得b≥-1,且φ(x)的最大值是φ(1)=2b-1,

由已知得1≥2b-1⇒b≤1,所以b的取值范围是[-1,1].…(5分)

(3)h(x)=f′(x)-g(x)-2

x
+
3
x
=…=x+
1
x

n=1时不等式左右相等,得证;

n≥2时,[h(x)]n-h(xn)=(x+

1
x
)n-(xn+
1
xn
)=
C1n
xn-2+
C2n
xn-4+…+
Cn-1n
x2-n=
1
2
[
C1n
(xn-2+x2-n)+
C2n
(xn-4+x4-n)+…+
Cn-1n
(x2-n+xn-2)]≥
C1n
+
C2n
+…+
Cn-1n
=2n-2

所以[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*)成立.…(5分)

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