问题
解答题
已知f(x)=x2-alnx在(1,2]上是增函数,g(x)=x-a
(1)求a的值; (2)设函数φ(x)=2bx-
(3)设h(x)=f′(x)-g(x)-2
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答案
(1)f′(x)=2x-
,依题意,当x∈(1,2]时,f'(x)≥0恒成立,即a≤(2x2)min⇒a≤2.g′(x)=1-a x
,当x∈(0,1)时,g'(x)≤0恒成立,即a≥2,所以a=2.…(5分)a 2 x
(2)f′(x)=2x-
=2 x
,所以f(x)在(0,1]上是减函数,最小值是f(1)=1.φ(x)=2bx-2(x+1)(x-1) x
在(0,1]上是增函数,即φ′(x)=2b+1 x2
≥0恒成立,得b≥-1,且φ(x)的最大值是φ(1)=2b-1,2 x3
由已知得1≥2b-1⇒b≤1,所以b的取值范围是[-1,1].…(5分)
(3)h(x)=f′(x)-g(x)-2
+x
=…=x+3 x
,1 x
n=1时不等式左右相等,得证;
n≥2时,[h(x)]n-h(xn)=(x+
)n-(xn+1 x
)=1 xn
xn-2+C 1n
xn-4+…+C 2n
x2-n=C n-1n
[1 2
(xn-2+x2-n)+C 1n
(xn-4+x4-n)+…+C 2n
(x2-n+xn-2)]≥C n-1n
+C 1n
+…+C 2n
=2n-2,C n-1n
所以[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*)成立.…(5分)