问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性； （Ⅱ）若x1＜x2，判断 f （x1）和f （x2）的大小，并给出证明． |
答案
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），（2分）
∵f(-x)=
=--x 1+|x|
=-f(x)（4分）x 1+|x|
∴函数f（x）是奇函数（5分）
（Ⅱ）先探究函数f（x）的单调性；
（i）当0≤x1＜x2时f(x1)-f(x2)=
-x1 1+x1 x2 1+x2
=x1-x2 (1+x1)(1+x2)
∵0≤x1＜x2∴1+x1＞0，1+x2＞0，x1-x2＜0
∴f （x1）＜f （x2），
∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是增函数．（7分）
（ii）当x∈（-∞，0）时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数f（x）是增函数 （9分），则（i）当0≤x1＜x2，
f（x1）＜f（x2），（ii）当x1＜x2＜0，f （x1）＜f （x2），
（iii）当x1＜0≤x2，总有 f（x1）＜f（x2），（11分）
综上所述当x1＜x2时，总有 f（x1）＜f（x2）． （12分）