问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求a的值； （2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数． |
答案
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即
+e-x a
=a e-x
+ex a
，…（2分）a ex
整理得(a-
)(ex-1 a
)=0，得a-1 ex
=0，又a＞0，∴a=1．…（6分）1 a
（2）由（1）得f(x)=ex+
，设0≤x1＜x2，1 ex
可得f（x1）-f（x2）=ex1+
-（ex2+1 ex2
）=1 ex2
．(ex1-ex2)(ex1+x2-1) ex1+x2
由题设可得，ex1-ex2＜0，ex1+x2- 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．