问题 解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+4,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1},求f(x);
(2)若1∈A,且1≤a≤2,设f(x)在区间[
1
2
,2]
上的最大值、最小值分别为M、m,记g(a)=M-m,求g(a)的最小值.
答案

(1)∵A={1},∴ax2+(b-1)x+4=0有两等根为1.…(2分)

a+(b-1)+4=0
△=(b-1)2-16a=0
,解得
a=4
b=-7

∴f(x)=4x2-7x+4.…(4分)

(2)∵1∈A,∴a+(b-1)+4=0,∴b=-3-a.…(5分)

∴f(x)=ax2-(a+3)x+4=a(x-

a+3
2a
)2-
a
4
-
9
4a
+
5
2

∵1≤a≤2,∴对称轴为x=

a+3
2a
∈[
5
4
,2]

x∈[

1
2
,2],∴M=f(
1
2
)=-
a
4
+
5
2
,m=-
a
4
-
9
4a
+
5
2
.…(8分)

g(a)=M-m=

9
4a
,由g(a)在[1,2]单调递减

可得当a=2时,函数取最小值g(a)min=g(2)=

9
8
.…(10分)

解答题
单项选择题