（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

  在区间[0，1]上为增函数，

可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

 在区间[0，1]上恒正，

故有

f′(0)≥0 f′(1)≥0

，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．

（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．

由f（n）=

4n-a

1+n2

，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0； 由f（m）=

4m-a

1+m2

，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）

故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．

（ii）此时，f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

，

由f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

．

欲证x₁＜x₀＜x₂，先比较

(1-x02)

(1+x02)2

 与

(1-x12)

(1+x12)2

 的大小．

由于 

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

1-x1•x2

(1+x12)(1+x22)

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x1-x2)(2x1+x2-x12 •x2)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)[x1(2-x1•x2) x2]

(1+x12)(1+x22)

．

因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，

于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

＜0．

另一方面，

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12•x02]

(1+x02)(1+x12)

，

因为0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，从而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．

同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．