问题
解答题
（文）已知复数z=
（1）求证：tgA•tgB=
（2）若|AB|=6，当∠C最大时，求△ABC的面积． |
答案
（1）由题意可得 |z|2=[
sin5 2
]2+[cosA+B 2
]2=[A-B 2
]2，…（2分）3 3 4
∴
•5 4
+1-cos(A+B) 2
=1+cos(A-B) 2
，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，9 8
∴tgA•tgB=
． …（6分）1 9
（2）tgC=-tg(A+B)=-
(tgA+tgB)≤-9 8 9 4
=-tgA•tgB
，3 4
当且仅当tgA=tgB=
时，tgC最大，即∠C最大…（9分）1 3
此时△ABC是等腰三角形，且底边上的高h=
|AB|•tgA=1，1 2
则S△ABC=3．…（12分）