问题
解答题
某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[2+
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低． |
答案
（1）设转盘上总共有n个座位，则x=
，即n=k n
，k x
∴y=
+3k2 x
[2+k2 x
]，定义域为{x|0＜x≤(128
+20)xx 25
，k 2
∈Z}．k x
故y关于x的函数关系式是y=
+3k2 x
[2+k2 x
]，定义域{x|0＜x≤(128
+20)xx 25
，k 2
∈Z}．（6分）k x
（2）令y=f（x）=k2（
+5 x
），(128
+20)xx 25
则f′（x）=
k2=0，-125+64x 3 2 25x2
当k=50时，∴x=
，（10分）25 16
当x∈（0，
）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，25 16
）上单调减，25 16
当x∈（
，25）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（ 25 16
，25）上单调增，25 16
ymin在x=
时取到，此时座位个数为 25 16
=32个．（15分）50 25 16
答：当座位的个数为32时，使得总造价最低．