在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-c

问题解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若

•

=2，且b=2

，求a和c的值．

答案

（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，

故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，

可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，

即sin（B+C）=3sinAcosB，

可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，

因此cosB=

．（6分）

（II）由

•

=2，可得accosB=2，

又cosB=

，故ac=6，

由b²=a²+c²-2accosB，

可得a²+c²=12，

所以（a-c）²=0，即a=c，

所以a=c=

．（13分）