问题
解答题
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A-
（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值． |
答案
解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos
-cosA•sinπ 6
=cosA，…（2分）π 6
故sinA=
cosA，tanA=3
．…（4分）3
又0＜A＜π，
所以A=
．…（5分）π 3
（Ⅱ）由正弦定理得b=
=a•sinB sinA
sinB，c=4 3
=a•sinC sinA
sinC，…（7分）4 3
故b+c=
(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(4 3
-B)=sinB+sin2π 3
•cosB-cos2π 3
•sinB=2π 3
sinB+3 2
cosB3 2
=
sin(B+3
)．…（10分）π 6
所以b+c=4sin(B+
)．π 6
因为0＜B＜
，所以2π 3
＜B+π 6
＜π 6
．5π 6
∴当B+
=π 6
即B=π 2
时，sin(B+π 3
)取得最大值1，π 6
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3(
)2≤4，…（10分）b+c 2
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）