问题
解答题
设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin(A-
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=2,求b+c的最大值. |
答案
解法一:(Ⅰ)由已知有sinA•cos
-cosA•sinπ 6
=cosA,…(2分)π 6
故sinA=
cosA,tanA=3
.…(4分)3
又0<A<π,
所以A=
.…(5分)π 3
(Ⅱ)由正弦定理得b=
=a•sinB sinA
sinB,c=4 3
=a•sinC sinA
sinC,…(7分)4 3
故b+c=
(sinB+sinC).…(8分)sinB+sinC=sinB+sin(4 3
-B)=sinB+sin2π 3
•cosB-cos2π 3
•sinB=2π 3
sinB+3 2
cosB3 2
=
sin(B+3
).…(10分)π 6
所以b+c=4sin(B+
).π 6
因为0<B<
,所以2π 3
<B+π 6
<π 6
.5π 6
∴当B+
=π 6
即B=π 2
时,sin(B+π 3
)取得最大值1,π 6
b+c取得最大值4.…(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得,4=b2+c2-bc,…(8分)
所以4=(b+c)2-3bc,即(b+c)2-3(
)2≤4,…(10分)b+c 2
∴(b+c)2≤16,故b+c≤4.
所以,当且仅当b=c,即△ABC为正三角形时,b+c取得最大值4.…(12分)