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问题 解答题
△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列；
（Ⅰ）若sin2B=sinAsinc，试判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求代数式sin2
C
2
+
3
sin
A
2
COS
A
2
-
1
2
的取值范围．
答案

（Ⅰ）∵sin2B=sinAsinC，∴b2=ac．

∵A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C=π-B，B=

π
3
．

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，a2+c2-ac=ac，∴a=c．

∴△ABC为正三角形．

（Ⅱ）sin2

C
2
+
3
sin
A
2
cos
A
2
-
1
2

=

1-cosC
2
+
3
2
sinA-
1
2

=

3
2
sinA-
1
2
cos(
2π
3
-A)

=

3
2
sinA+
1
4
cosA-
3
4
sinA

=

3
4
sinA+
1
4
cosA

=

1
2
sin(A+
π
6
)

∵

π
2
＜A＜
2π
3
，∴
2π
3
＜A+
π
6
＜
5π
6
，

∴

1
2
＜sin(A+
π
6
)＜
3
2
，
1
4
＜
1
2
sin(A+
π
6
)＜
3
4
．

∴代数式sin2

C
2
+
3
sin
A
2
cos
A
2
+
3
2
的取值范围是(
1
4
，
3
4
)．

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