问题 解答题
△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列;
(Ⅰ)若sin2B=sinAsinc,试判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求代数式sin2
C
2
+
3
sin
A
2
COS
A
2
-
1
2
的取值范围.
答案

(Ⅰ)∵sin2B=sinAsinC,∴b2=ac.

∵A,B,C依次成等差数列,∴2B=A+C=π-B,B=

π
3

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=ac,∴a=c.

∴△ABC为正三角形.

(Ⅱ)sin2

C
2
+
3
sin
A
2
cos
A
2
-
1
2

=

1-cosC
2
+
3
2
sinA-
1
2

=

3
2
sinA-
1
2
cos(
3
-A)

=

3
2
sinA+
1
4
cosA-
3
4
sinA

=

3
4
sinA+
1
4
cosA

=

1
2
sin(A+
π
6
)

π
2
<A<
3
,∴
3
<A+
π
6
6

1
2
<sin(A+
π
6
)<
3
2
1
4
1
2
sin(A+
π
6
)<
3
4

∴代数式sin2

C
2
+
3
sin
A
2
cos
A
2
+
3
2
的取值范围是(
1
4
3
4
)

单项选择题
多项选择题