问题
解答题
△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列; (Ⅰ)若sin2B=sinAsinc,试判断△ABC的形状; (Ⅱ)若△ABC为钝角三角形,且a>c,试求代数式sin2
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答案
(Ⅰ)∵sin2B=sinAsinC,∴b2=ac.
∵A,B,C依次成等差数列,∴2B=A+C=π-B,B=
.π 3
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=ac,∴a=c.
∴△ABC为正三角形.
(Ⅱ)sin2
+C 2
sin3
cosA 2
-A 2 1 2
=
+1-cosC 2
sinA-3 2 1 2
=
sinA-3 2
cos(1 2
-A)2π 3
=
sinA+3 2
cosA-1 4
sinA3 4
=
sinA+3 4
cosA1 4
=
sin(A+1 2
)π 6
∵
<A<π 2
,∴2π 3
<A+2π 3
<π 6
,5π 6
∴
<sin(A+1 2
)<π 6
,3 2
<1 4
sin(A+1 2
)<π 6
.3 4
∴代数式sin2
+C 2
sin3
cosA 2
+A 2
的取值范围是(3 2
,1 4
).3 4