问题 解答题
已知f(x)=
(x-2)2
x
+m-6
为定义域上的奇函数(其中m为常数),
(Ⅰ)试求出实数m的值和f(x)解析式;
(Ⅱ)若函数g(x)=2ax-22(其中a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值为m,试求实数a的值.
答案

(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},

f(x)=

x2-4x+4
x
+m-6=x+
4
x
+m-10

对任意x∈{x∈R|x≠0},由奇函数性质,有f(-x)+f(x)=0恒成立

所以,(-x+

4
-x
+m-10)+x+
4
x
+m-10=0即2m-20=0恒成立,

∴m=10,f(x)=x+

4
x

(Ⅱ)函数g(x)=2ax-22(其中a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值为10,

当a>1时,ax为R上单调递增函数,g(x)=2ax-22在[-2,2]上单调递增,g(x)最大=g(2)=10

即:2a2-22=10,即a2=16,从而,a=4

当0<a<1时,ax为R上单调递减函数,g(x)=2ax-22在[-2,2]上单调递减,g(x)最大=g(-2)=10

即:2a-2-22=10,即a-2=16,从而,a=

1
4

综上,实数a的值为4或

1
4

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