问题 解答题

已知某二次函数f(x)图象过原点,且经过(-1,-5)和(2,4)两点,

(Ⅰ)试求f(x)函数的解析式;

(Ⅱ)判断f(x)在区间[3,7]上的单调性,并用单调函数的定义进行证明.

答案

(Ⅰ)因为f(x)过原点,设f(x)=ax2+bx,

由题意,图象经过(-1,-5)和(2,4)两点∴

a-b=-5
4a+2b=4

解得:

a=-1
b=4
f(x)=-x2+4x

(Ⅱ)函数f(x)在[3,7]上为单调递减函数

证明:任取x1<x2∈[3,7]f(x1)-f(x2)=(-x12+4x1)-(-x22+4x2)=(x22-x12)+(4x1-4x2)=(x2+x1)(x2-x1)+4(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-4)x1<x2∈[3,7],x2+x1>6,x2-x1>0∴(x2+x1-4)>0∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-4)>0∴f(x1)>f(x2),而x1<x2∈[3,7]∴函数f(x)在[3,7]上为单调递减函数

单项选择题
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