（1）函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）

证明：设任意x₁＜x₂∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

…（2分）

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

                                    …（3分）

又设x₁＜x₂∈（0，2]，则f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）

∴函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数                     …（4分）

又设x₁＜x₂∈[2，+∞），则f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）

∴函数f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函数                        …（5分）

（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函数，f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是减函数                   …（7分）

（3）∵x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立

∴x+

9

x

＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立         …（8分）

由（2）中结论，可知函数t=x+

9

x

在x∈[1，5]上的最大值为10，

此时x=1                                    …（10分）

要使原命题成立，当且仅当2m²-m＞10

∴2m²-m-10＞0  解得m＜-2，或m＞

5

2

∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞

5

2

}    …（12分）