问题
解答题
已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组
（1）求证：函数F（x）在R上为减函数 （2）求实数k的取值范围． |
答案
（1）设x1＜x2，则x2-x1＞0∴F（x2-x1）＜0 …（1分）
∴F（x2）=F（x2-x1）+F（x1）＜F（x1）∴函数F（x）在R上为减函数 …（4分）
（2）∵函数F（x）在R上为减函数∴
对x∈[0，1]成立，…（6分）2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3
依题有
对x∈[0，1]成立f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴
∴-3＜k＜4①…（10分）f(0)＜0 f(1)＜0
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴k＜
=x2+3 x+1 (x+1)2-2(x+1)+4 x+1
∴k＜(x+1)+
-2恒成立∴k＜2②…（14分）4 x+1
综上由①、②得-3＜k＜2…（16分）