问题 解答题
已知△ABC的面积S满足3≤S≤3
3
,且
AB
BC
=6
AB
BC
的夹角为θ.
(Ⅰ)求θ的取值范围;
(Ⅱ)求函数f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值.
答案

(I)由题意知

AB
BC
=|
AB
||
BC
|cosθ=6.

S=

1
2
|
AB
| |
BC
|sin(π-θ)=
1
2
|
AB
| |
BC
|sinθ

=

1
2
|
AB
| |
BC
|cosθtanθ

=

1
2
×6tanθ=3tanθ.

3≤S≤3

3

3≤3tanθ≤3

3
,∴1≤tanθ≤
3

又∵θ∈[0,π],∴

π
4
≤θ≤
π
3

(II)∵f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ

=1+sin2θ+2cos2θ

=2+sin2θ+cos2θ=2+

2
sin(2θ+
π
4
).

∵θ∈[
π
4
π
3
]
,∴(2θ+
π
4
)∈[
4
11π
12
]

∵y=sinx在[

π
2
,π]上单调递减,

∴当2θ+

π
4
=
4
,即θ=
π
4
时,sin(2θ+
π
4
)
取得最大值
2
2

∴f(θ)的最大值为2+

2
×
2
2
=3.

解答题
单项选择题 案例分析题