（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），

又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．

即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分）

（2）f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．

∵f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），

∴k•3^x＜-3^x+9^x+2，

∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分）

令g（t）=t²-（1+k）t+2，其对称轴为x=

1+k

2

当

1+k

2

＜0，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意；

当

1+k

2

≥0，即k≥-1时，则△=（1+k）²-4×2＜0，∴-1≤k＜-1+2

2

综上，k＜-1+2

2

--------------------------（12分）