问题
选择题
已知函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0，则f（2010）=（ ）
A．2010
B．2009
C．1005
D．1004
答案
取x=y=0，得f（0）=0，
取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]2，即f（1）=2[f（1）]2．
∵f（1）≠0，
∴f(1)=
．1 2
取x=n，y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+
．1 2
即f(n+1)-f(n)=
，所以f(n)=1 2
，n 2
从而f（2010）=1005，
故选C．