已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sin

问题解答题

已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量

+(2-K)

（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S_△BOC表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

答案

（1）由

+(2-K)

得k

+(2-k)

两边平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1

整理得cos(β-γ)=

2k2-4k+3

2k2-4k

=1+

2(k2-2k)

当k∈（0，2）时，k²-2k∈[-1，0），

2(k2-2k)

∈(-∞，-

]，1+

2(k2-2k)

∈(-∞，-

]

又cos（β-γ）∈[-1，1]，

∴cos(β-γ)∈[-1，-

]

当k=1时，cos（β-γ）取得最大值-

；

当k=

或k=

时，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值-

时，k=1

此时，

且

与

的夹角为120°．

又|

|=|

|，(

)2=

2+2

•

=1⇒

•

∴

与

的夹角为120°．

故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．