问题 解答题
已知函数f(x)=
3
x-1
(x∈[2,6]).试判断此函数在x∈[2,6]上的单调性并求函数在x∈[2,6]上的最大值和最小值.
答案

设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2

f(x1)-f(x2)=

3
x1-1
-
3
x2-1

=

3[(x2-1)-(x1-1)]
(x1-1)(x2-1)

=

3(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)

由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,

于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

所以函数f(x)=

3
x-1
是区间[2,6]上的减函数.

因此,函数f(x)=

3
x-1
在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,

最大值f(2)=3,最小值f(6)=

3
5

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