记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c

（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，

∵1-tanAtanB≠0，

∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，

即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，

∵C∈（0，π），∴C=

3π

4

；

（2）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²得：

a²+b²+2×

2

2

ab=4，即a²+b²+

2

ab=4，

而4-

2

ab=a²+b²≥2ab，即ab≤4-2

2

，

所以S_△ABC=

1

2

absinC=

2

4

ab≤

2

4

（4-2

2

）=

2

-1．