问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若a∈N*，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值； （2）若a∈R，且关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内，求a的取值范围； （3）在（1）的条件下，若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞m-x-3恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（1）f(x)=
=1+x-a x-2
，由于函数在（2，+∞）上递减，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N*，所以a=1；a=1时，f(x)=1+2-a x-2
---------------（4分）1 x-2
（2）令F（x）=f（x）+x=
+x=x+1+x-a x-2
，F(-2)=-1+2-a x-2
=2-a -4
，F(-1)=6-a -4 2-a -3
当F(-2)•F(-1)=
•6-a -4
＜0时，即（a-2）（a-6）＜0，2-a -3
∴2＜a＜6时关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内．（若用根与系数的关系求解，参照给分） （9分）
（3）由（1）a=1时，f(x)=1+
，不等式f（x）＞m-x-3，即F（x）=1+1 x-2
+x-3＞m对3≤x≤4恒成立，容易证明F（x）=1+1 x-2
+x-3在区间[3，4]上是减函数，x=4时F（x）取最小值1 x-2
，所以m＜97 64
．97 64