由圆x²+（y+1）²=1，得到圆心坐标为（0，-1），半径为1，

显然此时直线x=1与圆x²+（y+1）²=1相切；

当与圆相切的直线斜率存在时，设斜率为k，

此时直线的方程为y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0，

∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d=

|5-k|

1+k2

=r=1，

整理得：（5-k）²=1+k²，解得：k=

12

5

，

此时直线的方程为

12

5

x-y+

8

5

=0，即12x-5y+8=0，

综上，所求直线的方程为：12x-5y+8=0或x=1．

故答案为：12x-5y+8=0或x=1