问题
解答题
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=x2-2ax
由题意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，
∴f′（x）=x2+2x，
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），
单调递减区间是（-2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
x3+x2+b，1 3
f（-2）=
+b为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．4 3
∵函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，
∴
或f(-3)≤0 f(0)＞0
或f(3)≥0 f(-2)＜0
或f(-3)＞0 f(3)＜0
或f(-2)=0 f(3)＜0
，f(-3)＞0 f(0)=0
即
，18+b≥0
+b＜04 3
∴-18≤b＜-
，即b的取值范围是[-18，-4 3
)．4 3