问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数； （2）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）任取x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2（1分）
∵f(x1)-f(x2)=
-2-x1 x1+1
=2-x2 x2+1
＞0（4分）3x2-3x1 (x1+1)(x2+1)
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数（1分）
（2）不存在（1分）
假设存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，（1分）
则∵x0＜0，∴0＜3x0＜1（1分）
即0＜f（x0）＜1∴0＜
＜1（1分）2-x0 x0+1
=＞-1＜x0＜2
＜0-2x0+1 x0+1
=＞-1＜x0＜2 x0＜-1或x0＞ 1 2
＜x0＜2（2分）1 2
与x0＜0矛盾，（1分）
所以不存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立．（1分）
另：f(x)=-1+
，3 x+1
由x0＜0得：f（x0）＜-1或f（x0）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．