问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y） （1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数； （2）若f（
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答案
（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则
＞1，x2 x1
∴f（
）＞0，x2 x1
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
•x1）=f（x1）-f（x2 x1
）-f（x1）=-f（x2 x1
）＜0x2 x1
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=
，y=1得，f（1 3
×1）=f（1 3
）+f（1），∴f（1）=0．1 3
令x=3，y=
得，f（1）=f（3×1 3
）=f（3）+f（1 3
），1 3
∵f（
）=-1，∴f（3）=1．1 3
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（
）＞f（9），f（x）＞f（1 x-2
）9 x-2
∴
，x＞0 x-2＞0 x(x-2)＞9
解得x＞1+
．10
∴x的取值范围为（1+
，+∞）10