问题 解答题
已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=
2x+3
x+1

(I)当x<0时,求f(x)的解析式;
(II)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
答案

(I)当x<0时,-x>0,可得f(-x)=

2(-x)+3
(-x)+1

由于f(x)是奇函数,于是f(-x)=-f(x),

所以当x<0时,f(x)=

2x-3
1-x
.                               (4分)

(II)证明:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2

f(x1)-f(x2)=

2x1+3
x1+1
-
2x2+3
x2+1
=
x2-x1
(x1+1)(x2+1)

由0<x1<x2,得x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,

于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2

所以函数f(x)=

2x+3
x+1
在(0,+∞)上是减函数.                    (8分)

问答题
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