问题 解答题

设f(x)是定义在R上的函数,对m、n∈R恒有x>0,f(m+n)=f(m)f(n),且当 x>0时,0<f(x)<1.

(1)求f(0)的值;                    

(2)证明:x∈R时,恒有f(x)>0;

(3)求证:f(x)在R上是减函数;     

(4)若f(x)-f(2-x)>1,求x的范围.

答案

(1)∵对任意m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),
∴令m=0,可得f(n)=f(0)•f(n),
由f(n)的任意性,可得f(0)=1

∴f(0)的值为1;
(2)由(1)中结论,令m=-n
则f(0)=f(-n+n)=f(-n)•f(n)=1,可得f(-n)=

1
f(n)

因此,f(x)与f(-x)互为倒数,
∵当x>0时,0<f(x)<1,∴当x<0时,0<
1
f(x)
<1,即f(x)>1,
又∵x=0时,f(0)=1
∴当x∈R时恒有f(x)>0;
(3)设x1>x2,可得
f(x1)=f(x2+(x1-x2))=f(x2)•f(x1-x2
由(2)知当x∈R时,恒有f(x)>0,
根据
f(x1)
f(x2)
=f(x1-x2)<1,可得0<f(x1)<f(x2
因此,f(x)在R上是减函数;

(4)∵f(x)-f(2-x)=f(

x
2-x
),f(0)=1,

∴不等式f(x)-f(2-x)>1,即f(

x
2-x
)>f(0),

∵f(x)在R上是减函数,∴

x
2-x
<0,解之得x<0或x>2

因此,所求x的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).

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