问题 选择题
已知函数f(x)是R上的偶函数,满足f(x)=-f(x+1),当x∈[2011,2012]时,f(x)=x-2013,则(  )
A.f(sin
π
3
)>f(cos
π
3
)
B.f(sin2)>f(cos2)
C.f(sin
π
5
)<f(cos
π
5
)
D.f(sin1)<f(cos1)
答案

由f(x)=-f(x+1)可得 f(x)=f(x+2),故函数的周期为2.

当x∈[2011,2012]时的图象与x∈[-1,0]时的图象形状一样,只是左右位置不同.

由于x∈[2011,2012]时,f(x)=x-2003,这是一个增函数,所以f(x)在[-1,0]上是增函数.

已知函数f(x)是R上的偶函数,则在f(x)[0,1]上是减函数.

由于 1>sin

π
3
>cos
π
3
>0,∴f(sin
π
3
)<f(cos
π
3
)
,故A错.

由于 1>|sin2|>|cos2|>0,∴f(|sin2|)<f(|cos2|),故B错.

由于 0<sin

π
5
<cos
π
5
<1,∴f(sin
π
5
 )<f(cos
π
5
 ),故C正确.

由于 1>sin1>cos1>0∴f(sin1)<f(cos1),故D错.

故选C.

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