（1）∵f（x）是奇函数

∴f（0）=0，即

a-1

3

=0

∴a=1----------------------（3分）

经检验：a=1时f（x）=

2x-1

2x+1

是奇函数，满足题意．--------（4分）

（2）f（x）是单调增函数

证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂

f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

----------------------（7分）

∵x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂

∴2x1-2x2＜0，

则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．----------------------（10分）

（3）由题意分离t得：t≥f（x）+x对x∈[0，1]恒成立----------------------（12分）

由（2）知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数

∴f（x）+x在[0，1]上是单调增函数

∴f（x）+x在[0，1]上的最大值为f（1）+1=

4

3

----------------------（14分）

∴t≥

4

3

，即所求实数a的取值范围为[

4

3

，+∞）．----------------------（16分）