问题
解答题
| 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足： （1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0； （2）f（1）=1； （3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）； （Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数； （Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围； （Ⅲ）比较f(
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答案
证明：（Ⅰ）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1）
∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0
即f（x2）＞f（x1）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
对x∈[0，1]恒成立，4f2(x)-8f(x)+5 4-4f(x)
设y=
=1-f(x)+4f2(x)-8f(x)+5 4-4f(x)
≥1，从而则a≤11 4[1-f(x)]
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令Sn=
+1 22
+2 23
+…+3 24
----------①，n 2n+1
则
Sn=1 2
+1 23
+2 24
+…+3 25
--------------②，n 2n+2
由①-②得，
Sn=1 2
+1 22
+1 23
+…+1 24
-1 2n+1
，即，Sn=n 2n+2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=1-n 2n+1
-1 2n
＜1n 2n+1
所以f(
+1 22
+…+2 23
)＜f(1)=1．n 2n+1