问题
解答题
已知函数f（x）=loga（x+1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象：
（1）写出g（x）的解析式
（2）记F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调性
（3）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m的取值范围．
答案
（1）设P（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点
则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x，-y）
∵已知点Q在函数f（x）的图象上
∴-y=f（-x），而f（x）=loga（x+1）
∴-y=loga（-x+1）
∴y=-loga（-x+1）
而P（x，y）是函数y=g（x）图象上的点
∴y=g（x）=-loga（-x+1）=-loga（1-x）
（2）F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga
，1+x 1-x
则函数F（x）=loga
的定义域为（-1，1），1+x 1-x
令h（x）=
，则h′（x）=1+x 1-x
，2 (1-x)2
∵当x∈（-1，1）时，h′（x）≥0恒成立
故h（x）=
在（-1，1）上单调递增，1+x 1-x
当0＜a＜1时，y=logat为减函数，此时F（x）=loga
为减函数，1+x 1-x
当a＞1时，y=logat为增函数，此时F（x）=loga
为增函数．1+x 1-x
（3）由（2）得若a＞1
当x∈[0.1）时，F（x）=loga
为增函数1+x 1-x
此时F（x）min=F（0）=loga1=0
∴m≤0
∴所求m的取值范围：m≤0