①∵在极坐标中，已知A、B的极坐标分别为(4，

π

3

)，(3，

π

4

)，∴OA=4，OB=3，∠AOB=

π

3

-

π

4

=

π

12

，

 故 sin∠AOB=sin

π

12

=

1-cos π 6 2

=

2- 3

2

．

∴△AOB的面积为

1

2

OA•OB•sin∠AOB=

1

2

×4×3×

2- 3

2

=3

2- 3

，

故答案为  3

2- 3

．

②过半径为1的圆外一点引圆的切线，若切线长等于圆的直径2，则由圆的切线性质可得该点到圆心的距离等于

5

，

则该点到圆上的点的距离的最大值为

5

+1，

故答案为

5

+1．